积分sqrt(4-x^2) 区间为-2到2

时间: 2024-11-13 14:08:13

要计算定积分 $\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx$，可以首先注意到被积函数 $\sqrt{4 - x^2}$ 的几何意义。这个表达式描述的是半径为2的圆的上半部分，因为方程 $x^2 + y^2 = 4$ 描述的是一个半径为2的圆，而 $\sqrt{4 - x^2}$ 正是上半部的函数。

我们可以利用对称性来简化计算，因为函数 $\sqrt{4 - x^2}$ 在区间 $[-2, 2]$ 上是偶函数，所以我们可以将其转化为：

$\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx = 2 \int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx$

接下来，我们使用三角替换法来计算积分。令 $x = 2 \sin(\theta)$，则有 $dx = 2 \cos(\theta) \, d\theta$。当 $x = 0$ 时，$\theta = 0$；当 $x = 2$ 时，$\theta = \frac{\pi}{2}$。

因此，积分变为：

$\int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{4 - (2 \sin(\theta))^2} \cdot 2 \cos(\theta) \, d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{4 - 4 \sin^2(\theta)} \cdot 2 \cos(\theta) \, d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\sqrt{4(1 - \sin^2(\theta))} \cdot 2 \cos(\theta) \, d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\sqrt{4 \cos^2(\theta)} \cdot 2 \cos(\theta) \, d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \cdot 2 \cos^2(\theta) \, d\theta$

$= 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta) \, d\theta$

利用 $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$，我们可以继续计算：

$= 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \, d\theta$

$= 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(2\theta)) \, d\theta$

$= 2 \left[ \theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= 2 \left[ \frac{\pi}{2} + 0 - \left( 0 + 0 \right) \right]$

$= 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$

因此，

$\int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx = \pi$

最后，将结果乘以2：

$\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx = 2 \cdot \pi = 2\pi$

所以，最终结果为：

$\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx = 2\pi$